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이항연산

last modified: 2015-03-24 08:58:08 Contributors

Contents

1. 개요
2. 사전적인 의미
3. 결합법칙
4. 항등원
5. 역원
6. 그룹(군)

1. 개요

두개의 항으로부터 결과를 얻어내는 연산. 가장 간단한 예로 덧셈, 곱셈 등이 있다. 기본적으로 우리가 사용하는 연산은 대부분 이항 연산이다. 1+2+3 이라고 물어봤을때 세개를 동시에 계산하여 삼항연산(?)을 통해 6이 된다고 생각하겠지만, 우선 앞에 두 수를 더해서 (1+2)+3이 되고 다시 두 수를 더해 3+3이 되어 6이 되는 것이다. 초등학교를 나온 사람이라면 기본적으로 덧셈이라는 연산에 대해 훈련이 되어 있기 때문에 이 과정을 의식하지 못하는 것 뿐이다.

2. 사전적인 의미

수학에서 정의한(규정한) 이항연산.

1. 집합 S가 주어져 있고,
2. 집합 S에서 아무 원소나 두개 골랐을 때(a,b 라고 하자)
3. 연산 * 에 의해서 계산된 결과인 a * b 라는 원소가 S에 있을 때 (이것을 '닫혀 있다'라고 표현한다.)

* 는 이 이항연산을 나타내는 기호로, a * b 또는 *(a,b)라고 쓴다.

3. 결합법칙

(a*b)*c=a*(b*c)가 항상 성립할 때, 이 이항연산은 결합법칙을 만족한다고 한다.

4. 항등원

집합 S의 원소중에 좋은 원소가 하나 있어서 (이 원소를 e 라고 부르자) a*e=e*a=a 가 항상 성립할 때 e를 이 이항연산의 항등원이라고 부른다.

5. 역원

항등원 e가 있을 때,

a*a'=a'*a=e 가 성립하는 a'이 있으면 a'를 a의 역원이라고 한다.

a'는 a마다 모두 다를 수 있다.

6. 그룹(군)

1. 집합 G에 이항연산 *가 정해져 있고, (물론 닫혀 있어야 한다.)
2. *는 결합 법칙을 가지고 있고
3. G 는 항등원을 가지고 있고,
4. G 의 모든 원소들이 각각 역원을 가지고 있을 때,

G를 그룹이라고 부른다.

a*b=b*a 가 항상 성립할 때 교환가능하다고 하는데, 이런 연산을 가진 그룹은 가환군이라고 부르며, 정수라는 집합에 주어진 덧셈이 가장 잘 알려진 예제다 : 항등원은 0. n 의 역원은 -n.