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미적분

last modified: 2015-07-19 19:29:11 Contributors

미적분 = 미분 + 적분

微積分
calculus.

Contents

1. 개요
2. 교육 과정
2.1. 고등학교
2.2. 대학교
3. 관련 항목

1. 개요

미분과 적분을 합쳐서 부르는 말. 보통 합쳐서 미적분이라고 부른다. 고등학교대학교의 과목명도 마찬가지. 일부 중딩들에게는 미적분은 학문의 최종보스인 마냥 일컬어지는데, 실상 미적분은 그다지 어렵지도 않고 나중에는 구구단 급으로 자주 활용되는 모습을 보여준다. 페이크 최종보스? 사실 미적분은 스킬을 쓰는 것보다 그 스킬을 쓸 수 있는 토대를 만드는 것이 더 어렵다. 이것을 주로 하는 분야가 해석학. 다만 과목을 고등학교 2학년에 배우는지라 아무것도 모르는 초, 중딩들에게 수학에 대해 겁을 줄때 미적분이다 어흥 무섭지 등으로 시전하는 모습이 종종 보인다.근데 일부러 x^n 미분하면 nx^(n-1) 이야. 어때 존나 쉽지?라고 해놓고 정작 미적분 가르칠 때 엡실론-델타 논법까지 꺼내드는 악랄한 선생님도 많다(...)

학자가 보면 별것 아니지만(별것 아닌게 아니라 그냥 구구단이다. 일반물리만 봐도 대부분의 문제에서 미적분을 사용한다.) 당장 대한민국 문과 수험생들의 천적인 대학수학능력시험/수학 A형에 한해서는 최종보스역할을 하기도 한다. B형의 경우도 미적분에서 고난도 문제가 자주 출제된다.[1]
대학교 미적분학 교재로는 Stewart, Thomas[2] 등이 유명하며, 일부 학교에서는 자체 교재를 사용한다.[3]

2. 교육 과정

2.1. 고등학교

  • 미적분Ⅰ[4]
    • 수열의 극한: 수열의 극한, 무한급수(구 수1)[5]
    • 함수의 극한과 연속: 함수의 극한, 연속함수(구 수2, 미통기)
    • 다항함수의 미분법: 미분계수의 정의, 다항함수의 도함수, 도함수의 활용[6](구 수2, 미통기)
    • 다항함수의 적분법: 부정적분과 정적분, 정적분의 활용(구 미통기, 적통)

  • 미적분Ⅱ[7]
    • 지수함수와 로그함수: 지수함수와 로그함수의 뜻, 그래프, 극한과 미분법(구 수1)
    • 삼각함수: 삼각함수의 뜻, 그래프, 삼각함수의 덧셈정리, 극한과 미분법(구 수2)
    • 미분법: 여러 가지 미분법(몫의 미분법, 연쇄법칙, 역함수 정리, 이계도함수), 도함수의 활용(구 수2)
    • 적분법: 여러 가지 적분법, 정적분의 활용(구 적통)

  • 기하와 벡터[8]
    • 평면 곡선: 음함수의 미분법, 매개변수 함수의 미분법(구 수2)
    • 평면벡터: 평면 운동의 속도, 가속도, 이동 거리(구 수2,적통)

2.2. 대학교

기본적인 베이스는 고등학교 교육과정과 같다. 여기서는 대학 미적분학에서 추가되는 내용만 다룬다.
상위권 대학의 경우 후술할 내용을 1학년 때 모두 배우는 것이 일반적이나, 대학에 따라 전부 배우지 않을 수도 있다. 보통 Stewart의 Calculus나 Thomas의 Calculus를 교재로 많이 쓴다. 역서가 아닌 원서를 교재로 쓰는 경우도 많다.
서울대학교 미적분학 교재를 기준으로 작성된 분류이므로 일반적인 분류에 맞게 수정바람.
  • 미분방정식: 미분방정식의 정의, 변수분리법, 1계 선형 미분방정식, 로지스틱 모형
  • 급수: 여러 가지 급수의 수렴판정법, 멱급수의 정의와 수렴반경, 여러 가지 함수의 멱급수, 로피탈의 정리, 근사다항식, 테일러 급수, 테일러 정리
  • 벡터와 행렬: 극좌표계, 원기둥 좌표계와 구면 좌표계, 벡터의 일차독립과 일차종속, 행렬과 선형사상, 행렬식, 벡터의 외적
  • 곡선: 매개화된 곡선의 속도/가속도 벡터, 접촉평면, 재매개화, 극좌표 곡선의 미적분, 선적분, 곡률, 매끄러움
  • 다변수함수의 미분: 다변수함수의 극한과 연속, 방향미분과 편미분, 기울기 벡터(grad), 테일러 전개, 임계점 정리, 헤세판정법, 라그랑주 승수법
  • 다중적분: 다중적분의 정의, 푸비니 정리, 다중적분의 치환적분법
  • 벡터 미적분학: 다변수 벡터함수와 야코비 행렬, 벡터장과 선적분, 잠재함수, 전미분과 미분형식, 벡터장의 발산(div), 그린 정리, 곡면과 면적분, 발산 정리, 벡터장의 회전(curl)과 스토크스 정리
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  • [1] 수능 및 모의고사 출제된 킬러 문제들은 미적분에서는 거의 함수와 연관되어 높은 사고를 요구하는 것들이었다.
  • [2] 2014년부터 국내에 수입되지 않음.
  • [3] 대표적으로 서울대학교가 있다. 서울대학교 미적분학 교재의 경우 고등학교에서 배운 내용이 모두 빠지고 급수부터 시작하며, 곡선 및 벡터해석 파트가 강화되어 있다. 또한 여러 정리의 증명을 상세하게 실어 놓았다.
  • [4] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 문/이과 공통으로 배운다.
  • [5] 2011 개정 교육과정 해설서에는 그냥 '급수'라고만 되어 있다.
  • [6] 원래 이과 학생들만 배웠던 롤의 정리와 평균값의 정리가 미적분 I에 추가되면서 문과 학생들도 배우게 되었다.
  • [7] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.영원히 고통받는 이과생 문과 놀리기
  • [8] 2014학년도 고등학교 입학생부터 적용되며, 이과만 배운다.영원히 고통받는 이과생 문과 놀리기