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몬티홀

last modified: 2017-12-13 12:14:49 Contributors

Contents

1. 몬티홀 게임
1.1. 개요
1.2. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는?
1.3. 그외의 증명법
1.4. 사람들의 오해
1.5. 몬티홀문제의 재해석 또는 응용·변형(?)에 관한 논의
1.6. 사반트의 몬티홀 문제와 그 풀이에 대해서...
1.7. 대중 매체에서의 등장
1.8. 참고
2. 스타크래프트 맵


1. 몬티홀 게임

1.1. 개요


사자왕이 설명하는 몬티홀 게임.깨알 같이 자신의 차가 포르쉐라고 자랑하는 사자왕

미국 오락 프로그램에서 유래된 문제.

결승전, 당신 눈 앞에는 3개의 문이 있다. 이 문 중 하나는 최고급 세단이 있지만 나머지 2개의 문 뒤에는 말똥 무더기만 있다. 당신이 문 하나를 고르자, 사회자가 나머지 두 문 중 하나를 열어 그 안에 말똥이 있음을 보여준다. 사회자가 당신에게 선택을 바꿀 기회를 준다면, 당신은 선택을 바꿔야 하는가 바꾸지 말아야 하는가?

참고로 경우에 따라 이 문제의 내용은 세단과 말똥 대신 페라리염소로 바뀌는게 더 많다.

직관적으로 생각해보면 바꾸나 바꾸지 않으나 확률은 똑같이 1/2일 것 같다. 당신이 말똥을 고르건 세단을 고르건 말똥 문 하나는 남아 있을 것이다. 사회자는 그걸 열면 그만이고, 남은 문은 무조건 말똥 아니면 세단일 테니 바꾸나 바꾸지 않으나 똑같을 것이다. 그리고 출연하는 사람들은 그냥 원래 선택을 유지하는 사람이 많은데, 괜히 바꿨다가 원래 선택한 문에 세단이 있었으면 정말 억울할 테니까 말이다.

그러나 정답은, 바꾸는 쪽이 2/3으로 더 높다!

1.2. 바꾸는 쪽이 더 높은 이유는?

1/2가 아니라 2/3이 되는 이유에 대해서 직관적으로 이해가 되지 않는다고 좌절하지 말것이다. 이 문제가 대중적으로 가장 화제가 되었던 1990년도에 기네스 북에 높은 IQ로 등재된 보스 사반트의 컬럼 '사반트에게 물어보세요'에서 사반트가 이 문제에 대한 정답(2/3)을 제시했을 때 약 만 통의 편지를 받았고 그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 틀린 답에 항의하는 내용의 편지였다.

이 문제에 대한 시각적인 해답은 경우의 수를 다 따져서 표로 작성해보는 것이다. 직관적인 해답은 사회자가 두개의 문 중에서 하나의 문을 열어서 말똥을 보여준다는 행위 자체가 열지 않은 다른 문에 세단이 있을 확률을 높여주기 때문이다. 즉 오답 하나를 제거함으로써[1] 열지 않은 문에 대한 정보를 추가로 제공하는 셈이다.



moti.jpg
[JPG image (Unknown)]

알기 쉬운 설명


쉽게 말해서 선택을 바꾼다는 전제하에 '말똥이 있는 문' 을 선택한 뒤 선택을 바꿀경우 세 문중 하나의 말똥이 있는 문은 이미 자신이 고른 상태이고 나머지 하나는 사회자가 말똥이 있다는 것을 확인시켜 주었으니 남아있는 문은 세단이 있는 문 뿐이기에 선택을 바꾼다면 당신은 반드시 세단을 얻을 수 있으며, 세단이 있는 문 을 선택한 뒤 선택을 바꾼다면 남은 문은 말똥이 있는 문뿐이니 선택을 바꿀 경우 반드시 '말똥이 있는 문' 을 열게 된다. 이 전제하에는 맨 처음 말똥이 있는 문을 선택해야만 세단을 얻을 수 있다. 말똥이 있는 문은 3개중 2개 이므로 확률은 당연히 2/3이며 만약 선택을 바꾸지 않는다면 선택을 바꾸지 않으니 처음 1/3의 확률 그대로 아무것도 변하지 않는다.

더욱 더 알기쉽게 설명하면 저 위의 예시 그림을 보면된다.

처음부터 자동차가 있는 문을 고를 확률 = 1/3
처음부터 꽝을 고를 확률 = 2/3

당신은 처음부터 꽝을 고를 확률이 더 높다. 여기서 사회자는 무조건 꽝을 하나 제거해주기 때문에 당신이 처음부터 자동차를 고르지 않은 이상 선택을 바꾸면 무조건 이긴다. 정리하면 처음부터 자동차를 고를 확률보다 꽝을 고를 확률이 더 높기때문에 선택을 바꾸는게 당연히 확률이 더 높다. 여기서 사회자가 무조건 꽝을 하나 빼주기 때문에,

선택을 바꾸지 않은 상태로 자동차를 얻을 확률
= 처음부터 자동차가 있는 문을 찍을 확률
= 1/3

선택을 바꾸면 자동차를 얻을 확률
= 처음에 꽝을 고를 확률
= 2/3

선택을 바꿔서 꽝을 고르게 될 확률은 오로지 처음부터 자동차를 고르게 되는 1/3 확률뿐이다. 고로 바꾸는게 유리하다.

표로 설명하면...
세 문을 각각 A, B, C 라고 하고 세단이 A 뒤에 있다고 가정하면, 각각의 문을 고른 뒤 선택을 바꾼 경우와 안 바꾼 경우의 당첨/꽝(O/X) 결과를 다음 표와 같이 나타낼 수 있다.
ABC
바꿈XOO
안 바꿈OXX
위 표에서 '바꿈' 행과 '안 바꿈' 행을 비교해보면 선택을 바꾸는 경우 당첨 확률이 2/3이고, 선택을 바꾸지 않는 경우 당첨 확률이 1/3임을 알 수 있다. 그러므로 선택을 바꾸는 쪽이 더 유리하다고 할 수 있다.


가장 쉽게 설명하자면, 문을 바꾸지 않으면 당신은 1/3 확률의 선택을 한 것이고, 문을 바꾸는 순간 당신은 두 번 선택을 한 것이므로 2/3의 확률을 가지게 된다.

1.3. 그외의 증명법

굳이 이 설명이 아니더라도 매우 많은 종류의 증명이 존재한다. 베이조스의 법칙을 써서 증명한다든가, 혹은 컴퓨터 시뮬레이션으로 무지막지하게 계속 시행한다든가...

1.4. 사람들의 오해


3번에 자동차가 있다고 하면,
  • 1번을 골랐을 경우에는 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 말똥이 있는 문을 연다면 2번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
  • 2번을 골랐을 때도 자동차가 없다. 그러므로 사회자가 말똥이 있는 문을 연다면 1번 문을 열 것이다. 남은 문이 3번이므로 바꾸면 유리하다.
여기까지는 아무 문제가 없어 보인다. 그런데...
  • 3번 문을 골랐을 때는 사회자가 두 가지 선택을 할 수 있다.
    • 1번 문을 열었을 때 남은 문이 2번이므로 바꾸면 불리하다.
    • 2번 문을 열었을 때 남은 문이 1번이므로 바꾸면 불리하다.
그러니까 요지는 뭐냐 하면, 경우의 수는 4인데 유리한 경우는 2가지이므로 확률은 2/4=1/2다!
이 증명이 틀린 이유는, 애초에 경우의 수는 1번 문을 고르느냐, 2번 문을 고르느냐, 3번 문을 고르느냐 3가지밖에 없기 때문이다. 자동차가 든 문을 골랐을 때 사회자가 어떤 문을 선택하느냐는 사실 고려대상이 아니다.

이는 확률로 계산해보면 더욱 명확해진다. 위와 같은 경우, 즉 3번 문에 자동차가 들어 있는 상황이라고 할 때,
  • 1번 문을 고를 확률이 1/3.
  • 2번 문을 고를 확률이 1/3.
  • 3번 문을 고를 확률이 1/3인데,
    • 사회자가 1번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 X 1번 문을 열어줄 확률(1/3 X 1/2) = 1/6
    • 사회자가 2번 문을 열어 줄 확률은 3번 문을 고를 확률 X 2번 문을 열어줄 확률(1/3 X 1/2) = 1/6

이해가 가시는가? 만약 위의 증명이 맞다고 하면 참가자는 뭐에 홀린 듯이, 똥무더기가 있는 문을 선택할 확률과 자동차를 선택할 확률이 같아야 한다.(...)즉, 말똥이 있는 문을 고를 확률 1/4(X2), 자동차가 있는 문을 고를 확률 1/2가 되어야 위의 증명이 성립한다고 할 수 있다.

그런데 여기서, 조건부 확률이란게 참 기묘한게 말 한마디, 주어진 상황이 아주 조금만 바뀌어도 상황이 틀어진다. 같은 상황에서 몬티홀이 문을 열때 오답을 전혀 모르고 있는 상태라고 전제조건을 바꾸어 생각해보자. 즉, 몬티홀이 열었을때 포르쉐가 나올수도 있는 상황이였다면, 사회자가 어떤 문을 선택하느냐는 사실이 고려대상이 포함되버리기 때문에 몬티홀이 먼저 염소가 있는 문을 열었더라도 이 경우만큼은 당첨자뒤에 포르쉐가 있을 확률은 1/3이 아니라 1/2이 맞다!뭐 X발?

그 차이를 알고있냐,모르고있냐에 따라 문제가 확확 바뀌기 때문에 명확한 해결이 나온 아직도 이 문제에 대한 의견이 갈리게 되는것이다. 몬티홀이 오답을 알고있을 경우에는 상술했듯이 확실히 아니라는 경우의 수중에 하나는 오답이라고 확실히 인지시켜줌으로써 확률에 변화가 가해지지만, 모르고있던 상태에서 염소가 나왔다면 그 경우의 수를 아예 배제하고 확률을 새로 계산해야 하므로 계산 방법 자체가 달라진다. 위의 사자왕 동영상 후반부 설명에도 나와있듯이 경찰대학교 문제에서 이런 전제조건을 다르게 생각하고 문제를 내서 논란이 된적이 있었다고 한다.

물론 원할한 진행을 위해 몬티홀은 오답을 알고있었으니 시청자에게 오답인 상황을 하나 빼준다는 전제조건이 깔린 상황이라 바꾸는게 2/3이 되는게 맞다. 하지만 친구끼리 이문제 가지고 병림픽을 벌이고 있다면 전제조건에 차이에 대해서 잘 설명해주고 너도 맞는말이고 얘도 맞는말이야라고 정리해주자.하지만 정확히 설명못하면 병림픽에 참여하게되니 조심하자. 걍 이 페이지를 보여줘

1.5. 몬티홀문제의 재해석 또는 응용·변형(?)에 관한 논의


몬티홀문제의 바꾸면 2/3라는 식의 풀이와 관련된 반론 중에는 직관적으로 바꾸든 안 바꾸든 1/2이 된다고 말하는 의견 이외에도 나름은 합리적인 논증에 기초해서 바꾸는 경우가 반드시 2/3인 것은 아니라는 의견도 있다. 후자의 입장으로서 주목할 만한 인물이 Morgan, J. P와 Gillman, Leonard 등인데, 이들은 이 문제에 대해 이렇게 설명했다고 한다.

만약 당신이 문1을 골랐을 때에 대해

사회자가 문3을 선호할 가능성이 확률 q라면(q는 0~1의 범위),

 사회자가 문3을 열었을 때 자동차가 문1 뒤에 있을 확률인 q/3에 대해
 사회자가 문3을 열었을 때 자동차가 문2 뒤에 있을 확률은 1/3이다.

그런데, 참가자가 문1을 골랐고, 사회자가 문3을 열었다면,
자동차는 문1에 있거나 문2에 있을 뿐이므로
위 2가지 경우가 발생가능한 전부이다.

따라서 당신이 문1을 골랐고, 사회자가 문3을 열었다면
문2에 자동차가 있을 확률, 즉 바꾸면 당첨될 확률은 (1/3) / (1/3 + q/3) = 1 / (1+q)가 된다.

다시 말해서

당신의 처음 선택이 정답일 때 사회자가 한 행동의 선호도가 확률q라면,

"바꾸면 언제나 2/3의 확률로 당첨된다는 결론은 q=1/2인 경우만을 말하고,
q값이 0부터 1로 변할 때에 당신이 선택을 바꾸면 당첨될 확률은 1/(1+q)에 의해 1/2부터 1까지 변경된다"

...는 결론이 도출된다.

...

몬티홀문제의 풀이도 잘 이해가 되지 않는데, 응용은 또 뭐냐 흑흑흑, 날 그냥 죽여 는 반응을 보이는 사람도 있겠고, 참가자가 처음 선택에서 당첨을 고를 확률이 1/3인데 사회자가 2개의 꽝 중 무엇을 제거하든 그게 참가자의 선택이 당첨일 확률과 무슨관계냐 고 반발하는 사람도 있을 것이다.

아무튼 이쪽 분야에 10년 이상 내공을 가졌다는 사람조차 이 내용이 몬티홀문제는커녕 확률론의 문제조차 아니라고 여길 정도니까, 몬티홀문제를 넘어 이 항목까지 이해한다는 게 쉬운 일은 아닐 수 있지만, 그래도 잘 따져보면 생각보다 간단한 이야기이다.

 가령, 당신의 첫선택이 당첨인 모든 경우에 대해 그리고 오직 그 경우일 때에만 사회자가 코를 긁는다고 하자.
 그렇다면 당신의 첫선택후 사회자가 코를 긁었다면 당신은 "아, 내가 처음 고른게 당첨이구나"라고 여기면 된다.
 반대로 당신의 첫선택후 사회자가 코를 긁지 않는다면 당신은 "아, 내가 처음 고른게 당첨이 아니구나"라고 여기면 된다.

물론 당첨이면 코를 긁는다는 규칙은 없으니까 그런게 있으면 그냥 짜고치기니까 위 예시는 몬티홀문제가 아니다. 그러나 당신이 당첨이면 사회자가 상대적으로 왼쪽 문을 열 가능성이 q라는 건 어떨까?

 우선 당신이 당첨일 때 사회가 왼쪽 문이든 오른쪽 문이든 균등하게 연다면 q=1/2이다.
 그리고 이 경우에는 당신은 사회자가 왼쪽 문을 열었든, 오른쪽 문을 열었든 그 행동으로부터 당신이 현재 당첨일 확률에 관해 아무런 정보도 얻지 못한다. 그래서 선택을 유지하면 최초의 당첨률인 1/3, 바꾸면 2/3가 된다.

 그러나 q=1/2이 아니라면, 그래서 사회자가 왼쪽 문을 여는 일정한 선호도 q를 상정할 수 있다면,

 당신이 어떤 선택을 한 뒤, 사회자가 왼쪽 문을 열었다는 사실로부터
 당신이 당첨이기 때문에 q의 확률로 왼쪽 문을 열었을 가능성 = q/3
 당신이 당첨이 아니지만 오른쪽 문이 정답이기 때문에 왼쪽 문을 열었을 가능성 = 1/3

이라는 수식을 세울 수 있고,

사회자가 왼쪽 문을 열었다는 사실로부터 그 왼쪽 문이 정답인 경우는 없게 되므로
발생가능한 경우는 위 2가지가 전부라는 이유에서

 당신이 당첨일 확률은 q/3 / (q/3+1/3) = q/(q+1)
 당신이 꽝이고 오른쪽 문이 당첨일 확률은 1/3 / (q/3+1/3) = 1/(q+1)이 된다고 선언할 수 있다.

...

문헌에 따르면 이러한 몬티홀문제의 재해석·응용·변형에 대해 사반트는 반발했던 것으로 보인다. 또는 이러한 해석에 의하더라도 어차피 참가자가 q에 대해 어떤 정보를 제공받는다는 설정은 없기 때문에 그 q를 고려하는 수식은 실제로는 의미가 없고, 부득이하게 2/3 이외의 확률을 논할 수 없다는 게 사반트의 입장이라는 평가도 있다.

그리고 이러한 재해석이나 응용 등이 몬티홀문제의 룰에 충실한지 여부는 수학적인 이야기라기보다는 인문학적, 심리학적 이야기로까지 ~마구마구~ 나아갈 수 있기 때문에 더 이상 자세한 설명은 생략한다 여기서 멈추기로 한다.[2]

하지만 그럼에도 q값이 주어지거나 예측될 수 있는 경우들에서는 위 논의가 의미가 있기도 하고, 그럼에도 정작 국내의 몬티홀문제 관련 항목에서는 논의되고 있지 않아 수학전공자, 통계학 전공자들조차도 이게 몬티홀문제와 무슨 관계냐, 확률론에 부합하는 내용이냐는 등의 반응이 격하게 나온다는 점에서 소개할 가치는 있을 것으로 본다. 격한 반응에 대해서는 물론, 살포시 다음 영문위키 페이지 링크를 알려줄 것. 번역은 셀프라고 하면서 상대방을 괴롭힐 것

1.6. 사반트의 몬티홀 문제와 그 풀이에 대해서...


아래 내용은 사반트의 공식홈페이지에서 다뤄지고 있는 내용과 그에 대한 해석이다. (이하에서는 이를 사반트의 몬티홀 문제라고 지칭하기로 한다)

Suppose you're on a game show, and you're given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what's behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it your advantage to switch your choice of doors?
당신이 게임쇼에서 3개의 문 중 선택할 수 있다고 가정해 봅시다. 한 문 뒤에는 차가 있고, 나머지 뒤에는 염소가 있습니다. 당신이 고른 문을 #1이라고 하고, 문 뒤에 무엇이 있는지 알고 있는 사회자가 염소가 있는 다른 문을 열어준 것을 #3이라고 하겠습니다. 그가 당신에게 "#2로 바꾸겠습니까?"라고 말합니다. 당신의 문에 대한 선택을 바꾸는게 유리할까요?

우선, 이 문제에 대한 마릴린 보스 사반트 본인의 응답은 이 항목의 위에서 보듯 "#2로 바꾸는게 현명합니다. #2의 당첨률은 2/3이기 때문입니다" 정도로 알려져 있다..

하지만, 앞서 살펴본 몬티홀문제의 재해석 또는 응용·변형에 관한 논의가 정확히 적용될 수 있는 것이 바로 이 문제이며, 그 결과 Morgan, J. P와 Gillman, Leonard 등에 의하면[3] 사반트의 응답(=#2로 바꾸는게 현명합니다)는 응답은 옳지만, 그 논증(=#2로 바꾸면 당첨률이 2/3가 되기 때문입니다)은 틀린 것이다.

우선, 사반트의 논증이 틀렸다는 지적이 나오는 이유는 앞서 살펴본 바와 같이 #2로 바꿀 때의 당첨률이 #1이 정답일 때 사회자의 #3 선호율 q값에 따라 1 / (1+q)가 될 뿐, 반드시 2/3로 고정된다고 단정할 수 없기 때문이다. 즉 q=1/2이라고 가정하지 않으면 위 문제에서 #2의 당첨률을 2/3로 단언할 수 없다.

하지만 그럼에도 응답이 옳다고 할 수 있는 이유는 q가 0~1 사이에 존재하기 때문에, q=0이라면 #2의 당첨률이 100%이고, q=1이라도 #2의 당첨률은 50%이기 때문이다. 즉, 최악의 경우라도 #2로 바꿔서 손해보는 일은 없으므로 #2로 변경하는게 현명하다는 사반트의 응답은 옳은 것이 된다.

그리고 이 문제, 즉 사반트의 몬티홀문제에 대한 학자들의 지적에 대해 혹자는[4] 참가자가 그 q값을 알 수 없는 상황에서는 0과 1 사이에 존재하는 확률 q값을 중립적으로 추산하여 q=1/2로 다룰 수밖에 없다. 즉, q=1/2로 가정하고 문제를 대함으로써 #2의 당첨률을 2/3로 여기는 게 합리적이다라고 설명했다고 하는데, 이것이 중립적인 가정에 기초한 설득적인 결론인 점에는 동의할 수 있을지라도 수학적 결론이라고 볼 수는 없다는 점이 중요하다.[5]

따라서 사반트의 몬티홀문제에서 바꿀 때의 당첨률이 2/3라고 말하는 것은 (1) 문제를 모르고 있거나, (2) 문제에 없는 가정(사회자의 #3 선호율 q=1/2)을 넣었거나, (3) 당첨률을 수학적 확률의 의미로 사용하지 않았음을 무시한 잘못된 설명이 된다.[6][7]

1.7. 대중 매체에서의 등장

  • 웹툰 정글고의 명왕성(정글고등학교)사다리타기를 하다가 위의 이론대로 선택을 바꾸다가 매점에 가서 음료수를 사야 했다. 여기서 이 항목에 대해 잘 모르는 사람들은 명왕성이 불사조의 어설픈 심리전에 낚였다고 생각하기 쉽지만 선택을 바꾸는게 확률이 높아진다는 계산 자체는 맞았다. 단지 사다리타기는 저 경우와 정 반대로 낮은 확률에 당첨된 사람이 손해보는 내기라는 것을 간과한 것이 문제. 지식은 불사조에 버금가면서 상식적인 방향으로 머리가 안돌아가는 명왕성의 특성이 돋보이는 에피소드다.*

  • 괭이갈매기 울 적에 Ep8에서 조지제시카가 낸 퀴즈로 등장. "새로 알게된 사실에 따라 가지고 있는 진실이 변한다."는 말을 하려고 꺼낸 듯.

  • 이야기 시리즈오와리모노가타리에서 아라라기 코요미는 중1 당시 이 문제의 풀이를 보고 감동받았다고.
  • 재승학 콘서트 책에서도 이를 언급하기도 했다.
  • 도전 골든벨 수학 골든벨 특집 33번 문제에서 출제되기도 했다.

1.8. 참고


마틴 가드너가 쓴 이야기 파라독스에서는 몬티홀 문제와 비슷한 듯 다른 문제가 실려있다.

  • 3개의 컵을 엎어놓고 그중에 동전이 들어있는 컵을 찾는 야바위 놀이에서 행인이 '승률이 1/3밖에 안되니 돈을 걸지 않겠다'고 하니 야바위꾼이 플레이어가 컵을 하나 고르면, 셋 중에 동전이 들어있지 않은 컵을 하나 열어 보여주겠다는 제안을 한다. 그러면 플레이어의 승률은 올라가는가? (물론 속임수는 없다고 가정)

    얼핏 생각해보면 컵 하나를 제거한 순간 남은 컵은 둘 뿐이니 돈을 딸 확률이 1/2로 증가하는 게 아닌가 하는 생각이 들기도 한다. 그러나 이 경우에는 몬티홀 문제와는 달리 플레이어에게 선택할 컵을 바꿀 기회를 주지 않고 있다. 그러니 이 룰을 추가하든 하지 않든 플레이어의 승률은 1/3 그대로 고정되고 확률이 바뀔 리 없다.

몬티홀처럼 직관적으로 내린 결론이 실제 수학적 답과 다른 또다른 문제. 문제는 다음과 같다.

  • 조커를 뺀 52장의 트럼프 카드 뭉치에서 카드 한장을 뽑아 확인하지 않고 바로 덮어두었다. 그리고 이후 무작위로 3장의 카드를 더 뽑았는데, 3장 모두 다이아였다. 이 때 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은?

일반적으로는 처음 카드를 뽑을 때를 기준으로 13/52=1/4이라고 생각하겠지만, 정답은 확인하지 않은 카드 중 다이아를 뽑을 확률과 같은 10/49이다.

후행사건의 결과에 의해서 선행사건의 확률이 바뀐다는 것이 일반적인 사고로는 납득되기 어려울 것이다. 이는 이후에 뽑은 3장의 다이아 카드가 무작위로 뽑은 카드이기 때문으로, 정확한 확률 계산법은 다음과 같다.

(4장 연달아 다이아를 뽑을 확률)/{(4장 연달아 다이아를 뽑을 확률)+(처음엔 다른 모양를 뽑은 뒤 3번 연달아 다이아를 뽑을 확률)}

이를 극단적으로 간단하게 도식화시켜서 생각해보자면, 다이아 카드와 스페이드 카드 한장씩이 있는데, 한장을 뽑아 덮어둔 뒤, 다시 한장을 뽑았을 때 그 카드가 스페이드라면 처음 뽑은 카드가 다이아일 확률은? 당연히 1/2가 아닌 1이다.

이렇게 직관적인 결론과 수학적으로 풀이한 결론이 일치하지 않는 이유는 선행 사건과 후행 사건이 서로 영향을 주지 않고 따로 노는 독립사건이 아니라, 선행 사건에 의해 후행 사건이 일어날 확률이 영향을 받는 종속사건이기 때문. 한 사건과 관련이 있는 사건의 정보가 주어지면 해당 사건이 일어날 확률은 달라지게 된다. 양자역학을 일반 상식으로는 이해할 수 없는 것도 이러한 확률의 변화와 관련이 있다. 한 사건이 일어날 확률을 구함에 있어 확률의 변화가 수반되는 경우 눈에 보이는 사건이라도 혼동되기 마련인데, 눈에 보이지 않는 사건이라면 두말하면 잔소리다.

양자역학에서는 관찰이라는 행위도 관찰하고자 하는 사건과 관련된 하나의 사건으로 취급되므로 관찰하고자 하는 사건의 확률에 영향을 주게 된다. 즉, 관찰 행위(선행 사건)가 관찰하고자 하는 것(후행 사건)에 직접 영향을 주어 사건의 결과를 달라지게 한다는 말이다. 이를 파동함수의 붕괴라 하는데, 파동함수는 확률밀도 함수의 일종[8]이므로 파동함수가 붕괴한다는 것은 쉽게 말해 방정식 자체가 달라진다는 것이므로 그 파동함수를 통해 도출되는 결과값. 그러니까 관찰하고자 할 사건이 일어날 확률이 당연히 변하게 된다. 이 때문에 양자역학에서는 관찰 행위가 결코 무시될 수 없는 것이다.


2. 스타크래프트 맵


Map Size : 128x128
TileSet : Twillight
Players : 2

스타크래프트의 맵. 본진에 막힌 미네랄이 3방향인게 본 항목의 1을 연상시킨다해서 몬티홀이란 이름이 됐다.

곰TV MSL 시즌2,다음 온게임넷 스타리그,신한은행 프로리그 2007에서 쓰인 맵.

프로토스 골든 에이지의 서막을 연 맵으로 일꾼 비비기 정찰이 중요한 맵이다. 의외로 사각지대도 많아서 몰래 시리즈도 자주 나온다. 반면 테저전 한정 저그의 무덤이었다.

따져보면 이 맵도 시간형 섬맵이긴 한데, 입구를 막는 미네랄이 워낙 금방 뚫리는데다가 전반적으로 맵이 개활지에 가까워 섬맵식의 경기 양상은 거의 나오지 않았다.

그 유명한 전화찬스 관광이 일어난 곳이다.[9]

덧붙여서 말하자면 미네랄 장벽이 저그입장에서 얼마나 X같은지 깨닫게 되는 맵이기도하다. 강민박성준을 상대로 시도한 전진 투게이트 포토러쉬의 심시티 위치를보자. 심지어 박성준은 코앞(진짜 코앞이다!)에 넥서스가 지어지는데 두눈 뻔히뜨고 지켜보는 수 밖에 없는 상황도 나왔었다. 자세한건 곰Tv msl 시즌2 16강 F조 강민 vs 박성준 경기를 참고.

이 몬티홀에서만 볼수 있었던 전진 해처리 가드라 체제는 심소명이 최초로 써먹었으며 이 전략을 앞세워 심소명은 MSL 결승에도 오르는 등 선수생활의 황혼기를 불태웠다. 그리고 이 전략이 가장 널리 알려지게 된건 김준영변형태Daum 스타리그 2007 결승전 4경기에서 2:1로 앞서던 변형태가 이기고 우승을 차지할 것이라고 생각했으나, 대인배스럽게 상대방 중앙 앞마당을 먹고 노스포 3해처리를 가져간 김준영이 가디언-히드라 체제를 완성시켜 변형태안드로메다로 날려버렸다. 그리고 철구의 유일한 공식전 승리도 이 맵에서 거두었다.

그리고 최인규가 김택용을 고스트 관광으로 안드로메다로 보내고 1100일만에 공식전 승리를 한 전장이기도 하다.

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  • [1] 사회자가 정답을 알고 있는가는 크게 중요하지 않다. 오답만 알고있으면 된다. 무대 뒤에 있는 사람이 팻말을 들어 알린다거나 하는 식이어도 무방하다. 게임을 정답을 아는 사회자와의 심리전으로 해석한다면 이는 문제를 아래의 '캉호홀'과 혼동한 것이다. '정답을 모르는 사회자가 문을 열었는데 거기서 세단이 나와버릴 확률' 같은 것은 고려할 필요가 없다.
  • [2] 가령, 인간에게 양자택일 상황을 무한번 강요할 때, 각 선택을 동일비율로 한다는 보장은 없으므로 q=1/2로 단정되지 않는다는 점 등은 인간의 자유의지와 선택행동 사이의 관계에 관한 논의로서 단지 수학으로 다룰 수 있는 주제가 아니다.
  • [3] 사실 진지한 학문적 논의에서는 누가 말했느냐 무슨 근거로 말했느냐가 더 중요하다
  • [4] 사반트 본인이라는 설도 있음
  • [5] 이것은 수학적 확률은 원인과 결과 사이에 작용하는 조건이 미지수로 남겨져 있는 상황에서는 그 미지수를 변수로 놓고 구할지언정 임의로 조건을 가정해서 결론짓지는 않는다는 점 때문이다
  • [6] 그리고 그럼에도 우리나라에서는 사반트의 일화를 소개하고, 사반트의 응답을 소개하면서 정작 문제만은 사반트의 몬티홀문제가 아니라 다른 형태의 몬티홀문제를 가져다 설명하는 오류에 빠져 있다. 이래서 문제를 잘 읽는게 중요하다 다시 한 번 강조하지만, 사반트의 일화나 응답에서 다룬 몬티홀문제는 조금 전에 다룬 영문 및 번역문과 같고, 공식사이트에서 명시적으로 인증하고 있다. 그 밖에 21(영화)에서도 이런 오류는 반복되고 있음을 짚어둠.
  • [7] 이해를 돕기 위해 조금 더 설명하자면, 사반트의 몬티홀문제는 원래 '참가자가 #1을 고르고 사회자가 #3에 염소가 있음을 알려줬을 때 <#2의 당첨률>이 어떤지'를 묻는 것이었다. 하지만, 국내에서는 이 문제를 다루면서 '참가자가 #1을 고르고 사회자가 아무튼 염소가 있는 문을 하나 열어줬을 때 <#2나 #3 중에서의 당첨률>이 어떤지'를 묻는 문제로 다뤄버린 것이다. 3개 중에 2개의 당첨률이니 당연히 2/3가 되지만, 그건 사반트의 몬티홀문제가 아니었던 셈
  • [8] 한 사건의 확률을 구하는 엄청나게 복잡하게 생긴 방정식이라고 생각하면 된다.
  • [9] 박성훈 vs 전상욱 in 곰TV MSL 시즌2 32강 F조 최종전. 당시 박성훈은 몬티홀 경기를 준비해오지 않았는데, 32강 최종 진출전에서 전상욱을 만났다. 박성훈은 팀 동료인 송병구에게 전화를 걸었고 송병구가 전화기 너머로 알려준 날빌전상욱을 물리치고 생애 처음으로 16강에 진출한다.